Comment comprendre simplement un processus de Wiener

Comment comprendre simplement un processus de Wiener, tel est l’objectif de cet article. L’étude des processus stochastiques en finance peut être compliquées si mal expliquée. Ainsi, dans cet article, je vais essayer de vous expliquer simplement ces notions si importantes en finance moderne.

Avertissement

Tout d’abord, avant d’aller plus loin, je ne suis pas prof, donc il se peut que des inexactitudes se glissent dans mon article; N’hésitez pas à apporter des corrections et remarques dans les commentaires.

Un exemple de sujet pour le Grand Oral

Moyennant la remarque précédente, vous pouvez utiliser cet article pour le Grand Oral, par exemple.

Avec le processus de Wiener, jouez à pile ou face

Pour bien comprendre le processus de Wiener, nous allons un peu jouer à un jeu de hasard : le pile ou face.

Si vous préférez regarder une vidéo:

La marche au hasard en finance

La finance moderne s’est développée quand des chercheurs se sont intéressés au hasard. Car pour beaucoup, les cotations des produits financiers peuvent sembler comme une marche au hasard. En effet, on fait souvent l’analogie avec le mouvement brownien des particules biologiques.

Mais, en fait, tout vient du besoin d’estimer l’espérance de gain d’un jeu comme le jeu de la bourse.

Et le plus simple, c’est le jeu de pile ou face.

Un jeu de pile ou face

Imaginons un jeu de pile ou face :

• face je gagne 1
• pile, je perds 1

Pas top le jeu ! En effet, en moyenne, je gagne… Rien. Pourtant, ce jeu est très intéressant à analyser.

Introduisons les notions nécessaires au processus de Wiener

Pour comprendre le processus de Wiener, il faut d’abord comprendre certaines notions.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une variable, une grandeur qui dépend du hasard. Elle peut être discrète ou continue. Remarque : discrète ne signifie pas qu’elle rase les murs !

Dans notre exemple du jeu de pile ou face, on peut prendre R le revenu de chaque lancé ou S, la somme des gains au bout d’une certain nombre de lancés.

Processus stochastique

Ici, stochastique n’est pas lié à l’indicateur technique Stochastique. Un processus stochastique correspond à l’évolution d’une variable aléatoire au cours du temps.

L’espérance de gain

Pour comprendre le processus de Wiener, il faut d’abord comprendre l’espérance de gain. L’espérance, notée E[X], c’est, « en moyenne », la valeur d’une variable aléatoire sur un grand nombre d’occurrences. C’est la valeur que l’on peut espérer lors d’un lancé.

Par exemple, si une variable aléatoire X prend une valeur A avec la probabilité p et la valeur B avec la probabilité 1-p, l’espérance de X est :

E[X] = p.A + (1-p).B

Dans le cas de notre jeu et pour la variable aléatoire R, le gain, A = -1, B = 1 et p = 0.5.

E[R] = 0

La variance

Quant à la variance, elle est donnée par cette formule :

V[X] = E[ (X – E[X])^2]

Et dans notre exemple : V[R] = 1

Processus de Markov

Autre notion importante : le processus de Markov.

En effet, les mathématiques permettent de modéliser les cours de bourse et cela passe par la notion de processus de Wiener (plus précisément d’Itô). Nous allons donc définir par étape ce qu’est un processus de Wiener. Et cela passe par le processus de Markov. Notre exemple en a toutes les propriétés.

Si l’on prend la somme des gains, S6 = S5 + R6 = R1 + R2 … + R6

Maintenant, un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov :

• l’état suivant du processus ne dépend que de l’état présent, pas des états passés.

Dit autrement, dans notre exemple, S7 ne dépend que de S6, pas de S5 ou S4 …

En effet, si S6 est 0, -1 ou 1, avec R7 cela suffit à déterminer S7.

L’espérance conditionnelle

On note E[Xn|Xn-1, Xn-2, … X1] l’espérance conditionnelle de Xn sachant Xn-1, Xn-2, … X1.

En fait, dit autrement, cela veut dire que c’est l’espérance de Xn après les lancés Xn-1, Xn-2, … X1.

La martingale

Ainsi, avec ce qui précède on peut définir la martingale par la propriété :

E[Xn|Xn-1, Xn-2, … X1] = Xn-1

Ce que l’on peut traduire dans le cas des gains Rn :

• l’espérance de R est ce que l’on a déjà.

En effet, Rn prend les valeurs -1 et 1, et son espérance est 0. L’espérance de Rn+1 est aussi 0.

Une martingale peut modéliser les gains et pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d’un jeu de hasard à espérance nulle comme notre pile ou face.

Et nous arrivons enfin au processus de Wiener…

Le processus de Wiener

Ainsi, nous avons fait tout ce chemin pour arriver au processus de Wiener. Un tel processus décrit un mouvement brownien.

Un processus de Wiener standard est un processus de Markov à accroissements espérés nuls et une variance de ces accroissements égale à 1 (sur un an quand on parle de cours de bourse). Les événements sont aussi indépendants.

Ce qui correspond à notre jeu de pile ou face.

Représentation du processus de Wiener standard

Si l’on appelle z la variable aléatoire et W un mouvement brownien (loi normale), un processus de Wiener a pour formule :

dz = b.dW

L’accroissement dW suit une loi normale. b est une constante. J’appelle ce b la volatilité.

Processus de Wiener général

En fait, nous avons jusque-là une espérance nulle. Or, en bourse, cela ne va pas car sinon on ne gagnerait rien. D’où le processus de Wiener général qui introduit un drift (une tendance) sous la forme d’un terme qui dépend de dt :

dz = a.dt + b.dW où a et b sont des constantes et dW suit un mouvement brownien.

Le a est un drift.

Exemples de cours de bourse générés par un processus de Wiener

Avec ce processus et du python on peut déjà construire des cours de bourse simulés. Voici deux exemples :

Les inconvénients du processus de Wiener

Comme nous l’avons vu, Wiener permet de générer des cours de bourse assez ressemblant à la réalité. Mais il souffre d’un gros défaut. En effet, a et b sont des constantes. Or, et je le dis souvent, la volatilité et le drift ne sont pas constants en bourse.

Si l’on veut aller au plus prés de la réalité, il faut introduire des dépendances envers le temps et les prix.

Ce qui nous amène à la formule d’Itô.

Processus et formule d’Itô

Dans la formule d’Itô a et b sont des fonctions de t et z. Certains auteurs écrivent que a et b ne dépendent que de t.

dz = a(z,t).dt + b(z,t).dW

Mais, du coup, c’est plus compliqué. Cependant, des applications importantes en découlent en finance.

Les applications de ces processus en finance

Nous avons obtenu précédemment ce que l’on appelle des équations aux dérivées partielles. Les théoriciens de la finance essayent de résoudre ces équations en les intégrant.

Leur principal résultat a été l’équation de Black – Scholes et Merton qui est à la source de l’estimation des produits dérivés comme les options.

Néanmoins, il y a environ une dizaine d’hypothèses pour que cela marché ! Dont une variable appelée volatilité implicite qui sert de variable d’ajustement…

Pour aller plus loin

Vous pouvez regarder la vidéo correspondante à cet article…

Et si vous voulez aller plus loin dans tout cela, je vous conseille les livres qui m’ont servi à présenter ce sujet :

• Paul Wilmott on Quantitative Finance (lien affilié Amazon – super bien expliqué)
• les livres de John Hull (lien affilié Amazon – il existe des versions en français)
• ceux de Roland Portait et Patrice Poncet (idem – référence en français)

Je vous propose aussi, si l’aspect investissement en bourse vous intéresse, de vous inscrire à ma mailing-list en utilisant le formulaire en début de page.

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Illustrations : canva