Grand Oral : la place des mathématiques dans le trading

La place des mathématiques dans le trading est énorme et ce sujet peut être choisi comme thème du Grand Oral de Mathématiques pour le Bac. Un lycéen devant passer le Grand Oral de mathématiques m’a contacté pour avoir mon avis sur le sujet. Dans ce post je vous fais un petit topo sur ce sujet. Quelle est la place des mathématiques dans le trading et la finance ?

La place des mathématiques dans le trading et la finance est très importante

Pour commencer, le profane n’imagine même pas la place que peuvent prendre les mathématiques dans le trading et la finance ! On peut dire que tout est mathématiques.

Mais tout d’abord on doit distinguer trois choses au moins :

• le trading des traders du dimanche (ou plutôt de la semaine car seules les cryptos cotent le WE)
• l’ingénierie financière
• la finance théorique.

En effet, ce sont trois disciplines différentes. Et je vais choisir un plan qui évoque ces trois disciplines. Nous allons les aborder dans cet ordre, car il va du plus simple au plus compliqué.

Je n’aborderais la cryptographie relative aux cryptomonnaies. Certes, elle utilise abondamment les mathématiques, mais ce n’est pas du trading. Voir ma vidéo ici.

Le trading du dimanche

Le trading du dimanche, c’est tout ce que l’on peut voir sur la bourse. Comme sur mon blog, par exemple. L’expression « du dimanche » est péjorative et vous la trouverez dans la bouche des « pros ». C’est-à-dire des institutionnels. Pour eux, ce n’est pas sérieux. Car la place des mathématiques dans le trading du dimanche est simple. En effet tout est basé sur :

• la moyenne mobile.

En fait, la moyenne mobile (cliquer sur le lien pour voir les formules) est une moyenne arithmétique ou exponentielle glissante. Et la plupart des indicateurs sont basés dessus. Cela permet de lisser les cours et de les filtrer. Voir mon article sur les maths.

Par exemple, je propose un certain nombre d’indicateurs basés sur des formules mathématiques et des algorithmes plus ou moins compliqués. Cependant, cela reste des mathématiques simples.

Les fondements mathématiques que j’utilise moi avec mes indicateurs de trading

Comme je suis un ingénieur de formation, j’aime bien appliquer des principes mathématiques et physiques au trading. J’en ai trouvé 17. Lisez cet article pour les découvrir…

Les robots de trading du dimanche

Enfin, les traders du dimanche peuvent construire des robots de trading avec le logiciel ProRealTime, TradingView, ou, le plus connu, Metatrader. Mais ces robots restent basés sur des mathématiques simples.

Ensuite, il y a l’ingénierie financière. Ou mathématiques financières.

Avant d’aller plus loin

Lisez ceci avant d’aller plus loin. Vous êtes peut-être lycéen et préparez le Grand Oral. Ou débutant en bourse. Vous avez donc un intérêt pour ce sujet. Et vous avez raison de vous y intéresser ! Vous êtes tombé sur mon blog et j’aimerais vous faire remarquer que je propose des outils de trading et d’investissement que vous ne trouverez nulle part ailleurs. Si vous ne croyez pas aux synchronicités, moi j’y crois. Alors vous n’êtes pas arrivé ici par hasard !

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Les mathématiques financières ou la place des mathématiques dans le trading et l’investissement

Tout d’abord, les maths financières, c’est pas tellement le trading. C’est plus l’investissement. Cependant, certains traders utilisent l’analyse fondamentale pour trader. J’appelle plutôt cela de l’investissement, mais admettons.

Les analystes financiers (voir aussi ce post) utilisent des formules basées sur les intérêts composés pour évaluer une entreprise. Et donc, estimer le bon prix de ses actions.

Mais commençons par le commencement. La base…

Avant de continuer, n’oubliez pas de regarder la vidéo associée à cet article :

L’actualisation des flux financiers

En effet, la base de la base en mathématiques financières, c’est l’actualisation.

En gros, pour faire simple, actualiser des flux financiers futurs c’est calculer la valeur équivalente aujourd’hui. Pour ce faire, on cherche le montant équivalente qui donnerait le même résultat si on plaçait ce montant avec un taux d’intérêt sans risque…

Vous trouverez un article intéressant sur ce sujet ici. Je ne m’étendrai pas dessus.

L’évaluation des entreprises

Il va sans dire que la place des mathématiques dans le trading est prépondérante quand il s’agit de savoir si une action est à sont juste prix !

Pour cela, les mathématiciens ont proposés différents modèles pour évaluer les titres des entreprises. Et, encore une fois, tout est basé sur l’actualisation.

Le modèle de Gordon – Shapiro

En partant de l’actualisation des flux futurs (bénéfices, pertes, etc), Gordon et Shapiro (c’est des gens) ont créé un modèle. Bien sûr, on l’appelle le modèle de Gordon – Shapiro.

Vous trouverez des infos et la formule ici.

Et le modèle de Bates

Ensuite le modèle de Bates raffine celui de Gordon et Shapiro en prenant en compte le taux de croissance du bénéfice par action et sont taux de distribution.

Je n’ai pas trouvé ce modèle sur wikipedia, je vous ferai un article. Je ne veux pas passer trop de temps pour l’instant sur ce sujet. Voir la page générale sur l’évaluation des entreprises sur wikipedia.

Un excellent bouquin sur les mathématiques financières est celui-ci (lien affilié Amazon). Version Kindle ici.

Passons à la finance théorique.

La place des mathématiques dans le trading : la finance théorique

Tout d’abord, la finance théorique est un trèèèès vaste sujet.

Comment apprendre la finance théorique et quantitative ?

Si vous êtes intéressé ou souhaitez faire des études dans le domaine, je vous recommande les excellents livres :

• Paul Wilmott on Quantitative Finance (lien affilié Amazon – oui c’est cher, mais c’est super bien expliqué)
• les livres de John Hull (lien affilié Amazon – il existe des versions en français)
• ceux de Roland Portait et Patrice Poncet (idem – référence en français)

Les bases de la finance des marchés

Processus stochastiques

Tout a commencé avec l’hypothèse que les cours de bourse suivent une marche au hasard. Ce n’est pas tout à fait vrai, mais c’est l’hypothèse que fait la finance des marchés.

Et donc, tout est basé sur le mouvement brownien et l’étude des processus stochastiques.

Un processus stochastique représente l’évolution à temps discret ou continu d’une variable aléatoire. Cette variable aléatoire, dans notre cas, c’est le prix d’un instrument financier.

Markov, Martingale, lemme d’Itô

Maintenant, on aborde des sujets assez compliqués. Tout ceci est super bien expliqué par Paul Wilmott dans ses livres. Mais je ne vous donnerai pas les formules dans cet article. Je ferai d’autres articles et vidéos sur les différentes notions connexes.

Cependant, sachez que cela parle de :

• chaînes de Markov
• martingale (ce n’est pas le sens commun de la martingale)
• Lemme d’Itô

Toutes ces formules mathématiques ont abouti à ce que l’on peut considérer comme le Graal quand il s’agit de la place des mathématiques en trading…

La formule de Black & Scholes

Tout d’abord il faut savoir que la finance est dominée par les produits dérivés. Ainsi, en terme de volumes, ce sont les produits dérivés qui dominent. On voit ce que cela a donné avec la crise des subprimes !

Et tous ces produits dérivés ont été rendus possibles grâce à une formule qui permet d’estimer le bon prix d’une option à partir de… 15 paramètres !

Il s’agit de la formule de Black & Scholes.

Cette équation donnant le prix théorique d’une option est la base de tout un pan de la finance.

Parallèlement à cela, les quants créent des modèles de trading…

Le High Frequency Trading et la finance quantitative

Un quant c’est un ingénieur spécialisé en finance quantitative. Son rôle est de construire des algorithmes de trading. Et, bien sûr, cela utilise grandement les mathématiques.

Le High Frequency Trading

Déjà ancien le High Frequency Trading consiste à faire réaliser des algorithmes de trading très rapides. En effet, la plupart des algorithmes sont basés sur de l’arbitrage ou la manipulation du carnet d’ordres. Et cela requiert des temps de réponse très faibles. On en arrive même à les coder sur des cartes électroniques.

Cependant, la plupart des algorithmes n’utilisent pas vraiment des fonctions mathématiques avancées. On est plus, comme son nom l’indique, dans de l’algorithmique.

Cette discipline est déjà anciennes. Actuellement on voit apparaître de nombreux data scientists qui s’intéressent au trading via la data science et l’intelligence artificielle.

Place des mathématiques en trading avec l’intelligence artificielle

Je pense que beaucoup de personnes ignorent que l’intelligence artificielle est essentiellement basée sur les mathématiques. C’est donc, par exemple, un sujet en soi pour le Grand Oral de mathématiques…

En effet, au départ, l’intelligence artificielle a démarré avec les réseaux de neurones. Voir le Postulat de Hebb. Or, les méthodes de résolution de réseaux de neurone passent bien évidemment par de grosses mathématiques.

On voit donc en ce moment apparaître de nombreuses tentatives de prédire les cours de bourse avec le deep learning et l’intelligence artificielle. J’ai publié récemment un article sur les Séries de Fourier (c’est plus de la data science que de l’IA). Mais c’est encore une autre histoire.

Et si on demandait à ChatGPT un plan pour le sujet Grand Oral « la place des mathématiques dans le trading » ?

Enfin, rien ne vous interdit de poser la question à ChatGPT. C’est ce que j’ai fait. Voici la réponse :

Voici un plan pour un exposé de 15 minutes sur la place des mathématiques dans le trading :

I. Introduction (2 minutes)

A. Contexte : Introduction générale sur le trading et son importance économique.

B. Définition : Présentation succincte du trading et de ses objectifs.

C. Problématique : Introduction de la question centrale de l’exposé sur le rôle des mathématiques dans le trading.

II. Les fondements mathématiques du trading (5 minutes)

A. Analyse technique : Explication du rôle des graphiques et des indicateurs mathématiques dans l’analyse technique des marchés.

B. Modèles mathématiques : Présentation des modèles mathématiques utilisés pour prédire les mouvements des prix, tels que les modèles de régression linéaire et les modèles stochastiques.

C. Probabilités : Discussion sur l’importance de la théorie des probabilités dans la prise de décision en trading, notamment en ce qui concerne la gestion des risques et l’évaluation des scénarios.

III. Les stratégies de trading basées sur les mathématiques (5 minutes)

A. Arbitrage : Explication des stratégies d’arbitrage utilisant des concepts mathématiques tels que les écarts de prix et les taux de change.

B. Algorithmes de trading : Présentation des algorithmes de trading basés sur des modèles mathématiques complexes, tels que les réseaux de neurones artificiels et les algorithmes génétiques.

C. Optimisation du portefeuille : Discussion sur l’utilisation de techniques mathématiques telles que la théorie moderne du portefeuille pour optimiser les allocations d’actifs et minimiser les risques.

IV. Les défis et limites des modèles mathématiques en trading (2 minutes)

A. Volatilité des marchés : Analyse des défis posés par la volatilité des marchés et de la difficulté de modéliser des environnements financiers complexes.

B. Risque de sur-ajustement : Discussion sur le risque de sur-ajustement des modèles mathématiques aux données historiques et de l’importance de la validation empirique des stratégies de trading.

V. Conclusion (1 minute)

A. Récapitulatif : Résumé des principaux points abordés dans l’exposé sur la place des mathématiques dans le trading.

B. Perspectives : Ouverture sur les perspectives futures et l’évolution du rôle des mathématiques dans le trading.

C. Remerciements : Clôture de l’exposé avec des remerciements à l’auditoire pour leur attention et leur participation.

Et voici mes remarques

Pour II.A : parler des moyennes mobiles (voir ce post, ci-dessus).

II.B : parler des processus stochastiques.

II.C : parler de la méthode de Monte Carlo pour évaluer les scénarios.

III.B : évoquer les réseaux de neurones.

III.C : citer la méthode CAPM, la théorie moderne du portefeuille, la méthode APT

IV.B : un algorithme de trading est souvent optimisé pour une période donnée. Il est important de le backtester (parler du backtesting) sur de longues périodes afin de prendre en compte de diverses situations de marchés.

Pour conclure sur la place des Mathématiques dans le trading

Il est très difficile d’automatiser le trading, même avec des outils complexes. Car il faut beaucoup de données et on en a peu en finance. En fait, les historiques de cotations ne sont pas très long et diversifiés. En effet, on a, sur les actions cotées depuis longtemps, de longues périodes de hausse, mais peu de krachs.

La plupart des robots de trading perdent en quelques heures, lors des krachs, tous les bénéfices engrangés pendant jusqu’à deux ans. On pourra citer l’exemple des marchés qui s’emballent à cause des automatismes lors des krachs, de la crise des subprimes, ou l’affaire Kerviel (même si là, on n’est pas dans une problématique de robot).

En fait, les algorithmes utilisant les mathématiques ne sont pas adaptés et ne peuvent prévoir les Cygnes Noirs. Même si je pense que cela n’existe pas.

En conclusion de cet article sur la place des mathématiques en trading…

Par conséquent, la place des mathématiques dans le trading restera toujours celle d’un outil supplémentaire. Un outil capable de ne pas connaître d’émotions comme un trader humain, mais un outil à surveiller. En effet, c’est le trader qui doit rester maître et arbitrer quand il le faut. Pour cela, rien ne compte plus que l’expérience.

Veuillez noter que ce plan est tout à fait théorique et que je ne suis pas prof. C’est à vous de collecter les données et de les organiser dans un dossier pour le Grand Oral en fonction des recommandations de vos professeurs.

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PS : n’oubliez pas de regarder la vidéo associée à cet article, surtout la fin, sur le plan :

• cliquez ici !

Illustrations : canva