La formule de Kelly – money management en bourse

La formule de Kelly et le critère de Kelly (Kelly Criterion) sont une aide précieuse pour le trader. Cette formule mathématique fait partie de la boite à outils du money management du trader en bourse. Je vous explique tout ce qu’il faut savoir de la formule de Kelly avec cas pratique pour un bon money management.

La formule de Kelly pour une bonne gestion du risque en bourse

John Kelly inventeur de la formule et du critère de Kelly

C’est en 1956 qu’un employé des Bell Labs, John Kelly, a inventé et publié un article sur sa célèbre formule. Il voulait améliorer ses chances de gains aux courses de chevaux.

Un outil pour déterminer combien miser sans se ruiner

… Tout en maximisant ses gains.

Le risque en bourse

Investir, pire, trader, en bourse est risqué. Je vous ai déjà parlé dans ce blog Trading-Attitude des Stop Loss. Un investisseur aura plutôt tendance à viser un horizon long terme et pratiquer la moyenne à la baisse ou le Dollar Cost Average. Un swing trader, lui, posera un stop loss.

Le stop loss protège un trade en particulier. C’est une bonne pratique à inclure dans sa routine de trading.

Inversement, le gain, lui, est donné par le target price.

La règle la plus importante en bourse

Limiter le risque que l’on prend en bourse fait partie des deux règles les plus importantes en bourse.

Des événements comme une grosse tendance contrainte quand on ne s’y attend pas sont très dangereux. Les cygnes noirs aussi.

Il faut donc absolument préserver son capital en bourse. Il faut survivre avant tout. Avant même de penser gagner de l’argent.

Mais comment également optimiser ses gains sur un portefeuille boursier tout le long de la vie de celui-ci ?

Optimiser la croissance de son portefeuille boursier

La formule de Kelly est supposée protéger le capital de l’investisseur, du trader ou du parieur. Mais elle est aussi censée maximiser la croissance du capital de celui-ci.

Plusieurs façons d’investir en bourse

Le problème est le suivant. Comment allouer son capital aux différents actifs et actios dans son portefeuille ?

Faut-il répartir ses achats sur tout le capital en 10 lignes d’actions ? 15 ? 5 ?

Est-ce qu’il faut investir et allouer son argent au coup par coup ? Sur quel intervalle ?

La formule de Kelly donne la part de capital qu’il faut allouer à un achat d’un actif boursier.

Présentation de la formule de Kelly

Avant d’attaquer la formule, je dois introduire quelques notions. Elles nous seront utiles pour la formule.

La probabilité de gain

Appelons p la probabilité de gain. P comme probabilité !

P est le pourcentage de fois où l’on gagne en bourse. On parle de pourcentage, mais dans les calculs vous utiliserez le ratio, un nombre variant de 0 à 1. Si vous gagnez tout le temps il sera égal à 1. Si vous ne gagnez jamais, il sera de 0.

Cette proba se calcule de la manière suivante :

Nombre de trades gagnants / (nombre total de trades)

Le nombre de trades sera déterminé sur une période de temps suffisamment longue et significative. Vous pourrez vous référer à votre journal de trading ou les rapports de votre courtier pour avoir ces informations.

La probabilité de perte

Ce ratio est le nombre de trades perdants divisé par le nombre total de trades. Calculé sur la même période.

Pour vous simplifier la tâche, il suffira d’utiliser :

1 – p

Car, si on appelle cette nouvelle proba q, on a toujours p + q = 1. Car soit on perd, soit on gagne.

Le ratio gain / perte

Les ratios ci-dessus portaient sur les nombres de trades. Maintenant nous allons travailler sur les gains. Le montant des gains et des pertes, pas les nombres d’occurrences. En anglais on parle de « Profit » & « Loss« .

Ce ratio, souvent noté r (p et q était des probabilités), est calculé de la manière suivante :

(gain moyen par trade) / (perte moyenne par trade)

Dans la suite nous dirons que le gain moyen par trade est a%, ou, dans les calculs un nombre compris entre 0 et 1.

La perte moyenne est b%.

Introduction à la formule de Kelly

Supposons maintenant que chaque fois qu’un trader mise un montant M il gagne a% ou perd b%.

S’il y a gain, le trader se retrouve avec un nouveau capital de M(1+a). Attention, dans les calculs a est en réalité a% / 100 ! Que je note a tout court.

S’il y a perte, le capital restant est M(1-b).

L’investisseur a donc une espérance de gain de :

p.M.a

Et une espérance de perte de :

(1-p).M.b

Ensuite, il y a des calculs. Je vous les épargne… Rassurez-vous !

La formule de Kelly

Ces calculs mènent à la part de capital que l’on peut allouer à un investissement pour maximiser la croissance de son portefeuille et sans risque la ruine.

La formule est la suivante :

Kelly% = p/b – (1-p)/a

avec :
p : probabilité de trade gagnant
a% : pourcentage de gain par trade gagnant
b% : pourcentage de gain par trade perdant

Attention ! Vous trouverez nombre d’articles sur internet où la formule n’est pas adaptée aux investissements boursiers mais à des mises de casino ou de courses. Dans ces cas on perd la mise. En bourse, c’est fort heureusement plus rare. Sauf avec les options binaires !

Usage de la formule de Kelly

La formule issue du critère de Kelly est simple à utiliser.

Si vous avez calculé Kelly%, sur un trade vous savez que vous pouvez investir maximum Kelly% de votre capital.

Exemples d’utilisation de la formule de Kelly

Étudions quelques exemples.

Exemple 1 d’utilisation de la formule de Kelly

Un investisseur en bourse a un capital de 100 000 euros. Il a regardé son journal de trading entretenu dans sa routine de trading. Il y a vu qu’il gagnait 50% du temps. Quand il gagne il empoche 25% de sa mise. Quand il perd, il perd en moyenne 5%.

Les données du problème sont :

• p = 0,5.
• a = 0,25
• b = 0,05

Kelly% = 8

Par conséquent on peut donc investir 800% du capital ! Ce que l’on ne fera pas, bien sûr. Ceci, nous en discuterons plus loin.

Ce nombre est très élevé car le gain moyen est 5 fois plus élevé que la perte moyenne. Et l’on gagne une fois sur deux.

Autre exemple, un peu plus réaliste

• Même capital.
• Le trader gagne une fois sur cinq : p = 0,2, q = 0,8
• Son gain moyen est 25%, sa perte moyenne 10% : a = 0,25 et b = 0,10.

Kelly% = 0,2/0,1 – 0,8/0,25 = -1,2

Quand le résultat de la formule de Kelly est négatif, l’investisseur n’a aucun intérêt à investir.

Exemple 3

• Capital de 100 kEUR.
• Le trader gagne une fois sur trois : p = 1/3, q = 2/3
• Son gain moyen est 25%, sa perte moyenne 10% : a = 0,25 et b = 0,1.

D’où : Kelly% = 0,67

Interprétation de la formule de Kelly pour le money management

Cela signifie, dans ce dernier exemple, que le trader pourra allouer 67% de son capital à un trade.

Ce ratio correspond à la somme à allouer pour maximiser les gains sur le portefeuille sans risquer la ruine.

Ainsi l’investisseur pourra investir jusqu’à 67 000 euros dans le cas que nous avons considéré.

Fichier de calcul de la formule de Kelly pour le money management

Voici un lien permettant de télécharger un fichier ODS compatible OpenOffice et importable dans GoogleDocs. Ce fichier contient les calculs pour plusieurs valeurs.

Les inconvénients et limites de la formule de Kelly

Cette formule est purement probabiliste. Bien qu’elle soit le résultat de calculs, les paramètres ne sont pas certains. Je veux dire par là qu’on n’est pas à l’abri d’un trade hors norme !

En effet, le ratio de trades gagnants est valable à un instant t seulement. De plus, le gain et la perte moyens sont encore plus incertains.

Ce n’est pas parce que vous avez gagné en moyenne 20% et perdu 5% que cela va continuer. Il suffit, avec certains Kelly% trouvés, d’une seule perte à 30% pour être ruiné. Et cela arrive sur certaines valeurs, notamment les biotechs !

Peut-on utiliser la formule de Kelly pour son money management ?

En conclusion, la formule de Kelly ne me semble pas une très bonne idée. Cette formule se base sur des paramètres qui ne sont pas forcément reproductibles. De plus, elle ne prend pas en compte un événement imprévu.

De même, les stops loss ne sont pas toujours respectés, notamment lors des gaps baissiers à l’ouverture.

Elle peut cependant faire partie de votre arsenal pour le money management. Elle vous servira à déterminer si vos statistiques de trading peuvent vous mener à la ruine ou pas.

Je préfère le concept de Fixed Ratio.

Comment savoir combien de capital allouer dans un trade ou un investissement ?

Le montant à allouer à un trade ne peut pas, à mon avis, être fixé à partir des statistiques générales sur tout le portefeuille.

L’allocation de capital pour un investissement doit être calculée en fonction de la volatilité de l’actif investi.

Cela passe par l’analyse de la situation graphique du titre sur lequel on investit. On :

• Maximise le gain possible.
• Minimise le risque.

Ce sont les 2 règles les plus importantes en bourse.

L’actif à trader doit même être recherché pour ces caractéristiques ! L’allocation de capital sur un investissement boursier et le money management doivent aller de pair avec votre méthode de trading.

Pour finir, ajoutons que le money management inclut les stop loss et la règle des 1% (voir les Fiches du Trader Débutant). Mais il comporte aussi les règles d’augmentation de l’exposition comme le Fixed Ratio.

La formule de Kelly fait partie des techniques d’augmentation de l’exposition. Mais elle ne vous aidera pas à limiter le risque sur un trade, ce qui est de la responsabilité du stop loss et de la volatilité. Avoir une bonne méthode de trading aide aussi.

Illustrations : canva